Question

已知點(diǎn)A（-1，-1）．若曲線(xiàn)G上存在兩點(diǎn)B，C，使△ABC為正三角形，則稱(chēng)G為Γ型曲線(xiàn)．給定下列三條曲線(xiàn)：
①y=-x+3（0≤x≤3）；  
②y=

2-x2

 (-

2

≤x≤0)；  
③y=-

1

x

  (x＞0)．
其中，Γ型曲線(xiàn)的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①點(diǎn)在線(xiàn)外，所以可以判斷．②把給定的曲線(xiàn)方程變形，得到曲線(xiàn)曲線(xiàn)形狀，知點(diǎn)A不在曲線(xiàn)上，通過(guò)分析進(jìn)行判斷．
③利用數(shù)形結(jié)合的思想判斷．

解答：解：①因?yàn)辄c(diǎn)A不在直線(xiàn)y=-x+3上，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，3），N（3，0），此時(shí)|MN|=3

2

，|AM|=

17

，|AN|=

17

．因?yàn)閨AM|＜|MN|，所以存在兩點(diǎn)B，C，使△ABC為正三角形，所以①是Γ型曲線(xiàn)．
②y=

2-x2

得x2+y2=2，圖形是第三象限內(nèi)的四分之一圓弧，曲線(xiàn)線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，

2

），N（-

2

，0），此時(shí)弧長(zhǎng)MN=

2 π

2

，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為MN=2，|AM|=

4+2 2

，|AN|=

4-2 2

，如圖可知三角形AMN不可能是正三角形，所以②不是Γ型曲線(xiàn)．
③利用數(shù)形結(jié)合思想，以A為圓心，做一個(gè)頂角是60°，由圖象可知當(dāng)圓與曲線(xiàn)相交時(shí)，則存在B、C，使使△ABC為正三角形，所以③為Γ型曲線(xiàn)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，并且能夠把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法或幾何方法去解決，本題的綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．