Question

火山噴發(fā)后，會在噴發(fā)區(qū)及周邊地區(qū)地面上堆積起大量火山灰．在一次火山噴發(fā)停止后對地面火山灰的堆積量進行測量，設(shè)定距離噴口中心50m內(nèi)的圓形區(qū)域為第1區(qū)，距離噴口中心50m至100m的圓環(huán)形區(qū)域為第2區(qū)，距離噴口中心100m至150m的圓環(huán)形區(qū)域為第3區(qū)，…，距離噴口中心50（n-1）m至50nm的圓環(huán)形區(qū)域為第n區(qū)…．測得第1區(qū)火山灰堆積重量平均為1000kg/m²，第2區(qū)火山灰每平方米的平均重量比第1區(qū)減少2%，第3區(qū)比第2區(qū)又減少2%，…，依此類推（題中n∈N*，m表示長度單位米，kg表示重量單位千克）．
（1）若第n區(qū)平均每平方米火山灰的堆積重量為a_n（kg），寫出a_n的表達式；
（2）第幾區(qū)內(nèi)的火山灰的總重量最大？

Answer 1

解：（1）由題意，∵第1區(qū)火山灰堆積重量平均為1000kg/m²，第2區(qū)火山灰每平方米的平均重量比第1區(qū)減少2%，第3區(qū)比第2區(qū)又減少2%，…，依此類推，
∴{a_n}組成以1000為首項，以1-0.02=0.98為公比的等比數(shù)列，…（4分）
所以a_n=1000×0.98^n-1．…（6分）
（2）設(shè)第n區(qū)的面積為b_nm²，
則b_n=π•{（50n）²-[50（n-1）]²}=2500π•（2n-1），…（8分）
則第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為a_n•b_n=1000•2500π（2n-1）•（0.98）^n-1，…（10分）
設(shè)c_n=（2n-1）•（0.98）^n-1，若c_n最大，則有，
即，解得，
即49.5≤n≤50.5，…（13分）
所以n=50．即第50區(qū)內(nèi)的火山灰總重量最大．…（14分）
分析：（1）由于第1區(qū)火山灰堆積重量平均為1000kg/m²，第2區(qū)火山灰每平方米的平均重量比第1區(qū)減少2%，第3區(qū)比第2區(qū)又減少2%，…，依此類推，故{a_n}組成以1000為首項，以1-0.02=0.98為公比的等比數(shù)列，從而可求a_n的表達式；
（2）先求第n區(qū)的面積為b_nm²，再求第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為a_n•b_n=1000•2500π（2n-1）•（0.98）^n-1，設(shè)c_n=（2n-1）•（0.98）^n-1，若c_n最大，則有，從而可得n的值．
點評：本題的考點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查等比數(shù)列模型的構(gòu)建即利用模型解決實際問題，關(guān)鍵是實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，同時考查解不等式．