Question

（2012•蕪湖二模）設函數f(x)=

ax

x2+b

(a＞0)
（1）若函數f（x）在x=-1處取得極值-2，求a，b的值．
（2）若函數f（x）在區(qū)間（-1，1）內單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，根據已知條件函數f（x）在x=-1處取得極值-2，可得f′（-1）=0，和f（-1）=2，分別解出a，b的值；
（2）需要對b進行討論：b≤0和b＞0兩種情況，利用導數研究函數的單調性，根據f′（x）＞0在區(qū)間（-1，1）內大于0，求出b的范圍；

解答：（1）∵函數f(x)=

ax

x2+b

(a＞0)
函數f（x）在x=-1處取得極值-2，
f′(x)=

a(b-x2)

(x2+b)2

依題意：

f′(-1)=0 f(-1)=-2

⇒

a=4 b=1

…（6分）
（2）f′(x)=

-a(x2-b)

(x2+b)2

，
∵a＞0，
∴當b≤0時f'（x）≤0，函數f（x）在（-1，1）內不可能增，舍去；
當b＞0，時
f′(x)=

-a(x+ b )(x- b )

(x2+b)2

若x∈(-

b

，

b

)時
f'（x）＞0，
f（x）遞增，
∴(-1，1)⊆(-

b

，

b

)
∴

- b ≤-1 b ≥1

⇒b≥1，
故所求范圍為[1，+∞）…（12分）

點評：此題主要考查利用導數研究函數的極值問題，是一道基礎題，比較簡單，解題過程中用到了分類討論的思想；