Question

某商品在近30天內每件的銷售價格P元和時間t（t∈N）的關系如圖所示．
（1）請確定銷售價格P（元）和時間t（天）的函數(shù)解析式；
（2）該商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的關系是：Q=-t+40（0≤t≤30，t∈N），求該商品的日銷售金額y（元）與時間t（天）的函數(shù)解析式；
（3）求該商品的日銷售金額y（元）的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的哪一天？

Answer 1

分析：（1）根據已知中的圖象可得函數(shù)是一個分段函數(shù)，分0≤t＜25和25≤t≤30，t∈N兩種情況，利用待定系數(shù)法可分別求出兩段的解析式，最后綜合討論結果可得答案．
（2）根據商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的關系是：Q=-t+40（0≤t≤30，t∈N），結合（1）中銷售價格P（元）和時間t（天）的函數(shù)解析式，根據：日銷售金額=銷售價格×銷售量得到答案．
（3）根據（2）中函數(shù)的解析式，結合二次函數(shù)的圖象和性質，求出函數(shù)的最大值點及最大值，可得答案．

解答：解：（1）當0≤t＜25，t∈N，
設P=at+b，將（0，19），（25，44）代入，
得

19=b 44=25a+b

…（1分）
解之得

a=1 b=19

，
∴P=t+19（0≤t＜25，t∈N）…（2分）
當25≤t≤30，t∈N，
同理可得P=-t+100，…（3分）
綜上所述：銷售價格P（元）和時間t（天）的函數(shù)解析式為P=

t+19，(0≤t＜25，t∈N) -t+100，(25≤t≤30，t∈N)

…（4分）
（2）由題意得，y=P•Q，由（1）得
y=

(t+19)(-t+40)，(0≤t＜25，t∈N) (-t+100)(-t+40)，(25≤t≤30，t∈N)

即：y=

-t2+21t+760，(0≤t＜25，t∈N) t2-140t+4000，(25≤t≤30，t∈N)

（3）由y=

-t2+21t+760，(0≤t＜25，t∈N) t2-140t+4000，(25≤t≤30，t∈N)

當0≤t＜25，t∈N，由二次函數(shù)的圖象和性質知
t=10，或t=11時，y取最大值870元
當25≤t≤30，t∈N，由二次函數(shù)的圖象和性質知
t=25時，y取最大值1125元
綜上所述，在第25天，日銷售金額有最大值1125元

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中根據已知中函數(shù)的圖象利用待定系數(shù)法，求出函數(shù)的解析式是解答的關鍵．