Question

四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為

5

的等腰三角形，則二面角V-AB-C的大小為（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

Answer 1

分析：由題意可知：四棱錐V-ABCD是正四棱錐，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接VO，則VO⊥平面ABCD．取AB的中點(diǎn)M，連接VM，OM．則AB⊥OM，利用三垂線定理可得AB⊥VM．
即可得到∠OMV是二面角V-AB-C的平面角．在Rt△VOM，利用邊角關(guān)系即可得出．

解答：解：如圖所示，
由題意可得：四棱錐V-ABCD是正四棱錐，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接VO，則VO⊥平面ABCD．
取AB的中點(diǎn)M，連接VM，OM．則AB⊥OM，∴AB⊥VM．
∴∠OMV是二面角V-AB-C的平面角．
由正方形可得：OB=

1

2

BD=

1

2

×2

2

=

2

．
∴VO=

VB2-OB2

=

( 5 )2-( 2 )2

=

3

．
在Rt△VOM，tan∠VMO=

VO

OM

=

3

1

=

3

．
∴∠VMO=60°．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握正四棱錐的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、二面角的平面角的作法、直角三角形的邊角關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．