Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求證：；
（2）若二面角為，求的長．

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）的長為．

解析試題分析：（1）在中,應(yīng)用余弦定理得,從而得到．
再利用⊥平面，平面
得．
由⊥平面，平面得到．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系,利用“空間向量方法”得到，解得．
試題解析：（1）證明：在中,
所以,由勾股定理知所以 ．   2分
又因?yàn)?⊥平面，平面
所以 ．                                           4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5c/2/6b0311.png" style="vertical-align:middle;" /> 所以 ⊥平面，又平面
所以 ．                                           6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b9/8/ntggs2.png" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，又由（1）知，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .
設(shè)，則,,，,，
.            8分
設(shè)平面的法向量為，則  所以
令.所以.                    9分
又平面的法向量                    10分
所以， 解得 ．          11分
所以的長為．                           12分
考點(diǎn)：直線與平面垂直，余弦定理，空間向量的應(yīng)用.