Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

5π

12

，

π

6

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期公式求得函數(shù)最小正周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的函數(shù)解析式，根據(jù)x的范圍利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，
（Ⅱ）∵x∈[-

5π

12

，

π

6

]，
∴2x-

π

6

∈[-π，

π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-1，

1

2

]，
∴2sin（2x-

π

6

）∈[-2，1]，
∴函數(shù)f（x）的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．