Question

5．定義：若一個正整數(shù)表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么這個正整數(shù)稱為“神秘數(shù)”，例如12=4²-2²，12就是“神秘數(shù)”．（1）設(shè)“神秘數(shù)”構(gòu)成數(shù)列{a_n}，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在區(qū)間[1，200]內(nèi)求所有“神秘數(shù)”之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2n+2和2n，根據(jù)題意，計算其和平數(shù)可得（2n+2）²-（2n）²=4（2n+1），故和平數(shù)的特征是4的奇數(shù)倍，{a_n}的通項公式，
a_n=4（2n+1）；
（2）介于1到200之間的所有“神秘數(shù)”中，最小的為：2²-0²=4，最大的為：50²-48²=196，將它們?nèi)�部列出不難求出他們的和．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2n+2和2n，根據(jù)題意，計算其和平數(shù)可得（2n+2）²-（2n）²=4（2n+1），
a_n=4（2n+1）；
（2）介于1到200之間的所有“神秘數(shù)”之和，
S=（2²-0²）+（4²-2²）+（6²-4²）+…+（50²-48²）
=50²
=2500，
故答案為：2500．

點評 本題考查的知識點是數(shù)列的求各，根據(jù)“神秘數(shù)”的定義，我們不難將介于1到200之間的所有“神秘數(shù)”都列舉出來，屬于中檔題．