Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，．

   （Ⅰ） 求函數(shù)在點(diǎn)(1，)處的切線方程；   （Ⅱ） 若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù),求的取值范圍；   （Ⅲ） 若方程有唯一解,試求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）因?yàn)?img width=96 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/56/387456.gif" >,所以切線的斜率…………………2分

又,故所求切線方程為,即…………………4分

（Ⅱ）因?yàn)?img width=149 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/61/387461.gif" >,又x>0,所以當(dāng)x>2時(shí),；當(dāng)0<x<2時(shí), ．

即在上遞增,在（0,2）上遞減…5分又,所以在上遞增,在上遞減……………6分欲與在區(qū)間上均為增函數(shù),則,解得…………8分

（Ⅲ） 原方程等價(jià)于,令,則原方程即為．  因?yàn)楫?dāng)時(shí)原方程有唯一解,所以函數(shù)與的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)…10分又, 且x>0,所以當(dāng)x>4時(shí),；

當(dāng)0<x<4時(shí), ．即在上遞增,在（0,4）上遞減．故h（x）在x=4處取得最小值…12分從而當(dāng)時(shí)原方程有唯一解的充要條件是…13分