Question

（Ⅰ）已知f（x）+2f（

1

x

）=3x+3，求f（x）的解析式．
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=

-x2+6x-8

的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用方程組法求函數(shù)的解析式，以

1

x

代x代入方程，與已知方程聯(lián)立，即可求得函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）確定函數(shù)的定義域，確定內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2f（

1

x

）=3x+3，∴f（

1

x

）+2f（x）=

3

x

+3
消去f（

1

x

），可得f（x）=

2

x

-x+1
∴f（x）的解析式為f（x）=

2

x

-x+1（x≠0）；
（Ⅱ）由-x²+6x-8≥0，可得x²-6x+8≤0，∴2≤x≤4，即函數(shù)的定義域為[2，4]，
令g（x）=-x²+6x-8=-（x-3）²+1，∴函數(shù)g（x）在（-∞，3）上單調(diào)遞增，在（3，+∞）上單調(diào)遞減
∴函數(shù)f(x)=

-x2+6x-8

的單調(diào)增區(qū)間為[2，3]，單調(diào)減區(qū)間為[3，4]，
∵0≤g（x）≤1，
∴函數(shù)的值域為[0，1]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查學(xué)生的計算能力，正確確定函數(shù)的定義域與內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．