設(shè)函數(shù),,其中為實數(shù).
(1)若在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍;
(2)若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.
(1)
(2)當(dāng)或時,的零點個數(shù)為1;當(dāng)時,的零點個數(shù)為2.
【解析】(1)∵,考慮到函數(shù)的定義域為,故,進(jìn)而解得
,即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理,在上是單調(diào)增函數(shù).
由于在是單調(diào)減函數(shù),故,從而,即.
令,得,當(dāng)時,;當(dāng)時,,
又在上有最小值,所以,即,
綜上所述,.
(2)當(dāng)時,必是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時,令,
解得,即,
∵在上是單調(diào)函數(shù),類似(1)有,即,
綜合上述兩種情況,有.
①當(dāng)時,由以及,得存在唯一的零點;
②當(dāng)時,由于,,且函數(shù)在上的圖象不間斷,∴在是單調(diào)增函數(shù),∴在上存在零點. 另外,當(dāng)時,,則在上是單調(diào)增函數(shù),只有一個零點.
③當(dāng)時,令,解得.
當(dāng)時,;當(dāng)時,. ∴是的最大值點,且最大值為.
1)當(dāng),即時,有一個零點.
2)當(dāng),即時,有兩個零點. 實際上,對于,由于,,且函數(shù)在上的圖象不間斷,∴在上存在零點.
另外,當(dāng)時,,故在上是單調(diào)增函數(shù),∴在上有一個零點.
下面需要考慮在上的情況,先證,
為此,我們要證明:當(dāng)時,,設(shè),則,再設(shè),則.
當(dāng)時,,∴在上是單調(diào)增函數(shù),
故當(dāng)時,,從而在上是單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而當(dāng)
時,,即當(dāng)時,.
當(dāng),即時,,又,且函數(shù)
在的圖象不間斷,∴在上存在零點.
又當(dāng)時,,故在是單調(diào)減函數(shù),所以,在上只有一個零點.
綜上所述,當(dāng)或時,的零點個數(shù)為1;當(dāng)時,的零點個數(shù)為2.
【考點定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算及用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)、方程及不等式的相互轉(zhuǎn)化,考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題及推理論證能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省臺州市高三第一學(xué)期第二次統(tǒng)練試題理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分15分)已知函數(shù),,其中為實數(shù).
(1)設(shè)為常數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)若對一切,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分15分) 已知函數(shù),,其中為實數(shù).
(1)設(shè)為常數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)若對一切,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù),,其中為實數(shù).
(1)設(shè)為常數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)若對一切,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)函數(shù),,其中為實數(shù).
(1) 若在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的范圍;
(2) 若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.
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