Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．
（1）求a1的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)Tn= ，求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．

令n=1時(shí)，2S1=3a1﹣1，解得：a1=1

（2）解：由于：2Sn=（n+2）an﹣1①

所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②

②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，

整理得： ，則 ，即 ．

∵ ，

∴ ，…， ，

利用疊乘法把上面的（n﹣1）個(gè)式子相乘得： = ，

∴ ，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1符合上式，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是

（3）證明：∵ ，∴ ，

∴ =2（ ），

∴Tn=

=2（ …+ ）

=2（ ）＜2（ ）= ．

故Tn＜

【解析】（1）令n=1，能求出a1．（2）由2Sn=（n+2）an﹣1，得2Sn+1=（n+3）an+1﹣1，從而得到 ，利用利用疊乘法得： = ，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）推導(dǎo)出 =2（ ），由此利用裂項(xiàng)求和法能證明Tn＜ ．