已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等,求切線的方程;
(2)從圓C外一點P(x,y)向圓引切線PM,M為切點,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的點P的坐標.
1、切線方程為y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.
2、P(-,).
(1)圓C:x2+y2+2x-4y+3=0的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=2,
∴圓心C(-1,2),半徑r=.
設圓C的切線在x軸和y軸上的截距分別為a、b.
當a=b=0時,
切線方程可設為y=kx,
即kx-y=0.
由點到直線的距離公式得
=.解得k=2±.
∴切線方程為y=(2±)x.
當a=b≠0時,
切線方程為+=1,
即x+y-a=0.
由點到直線的距離公式得
=.
解之,得a=-1或a=3.
∴切線方程為x+y+1=0,x+y-3=0.
總之,所求切線方程為y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)連結MC,則|PM|2=|PC|2-|MC|2.
∵|PM|=|PO|,
∴|PC|2-|MC|2=|PO|2,
即(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2.
整理得x=2y-.
∴|PM|=|PO|=
=.
當y=-=時,|PM|最小,
此時x=2×-=-.
∴P(-,).
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