Question

已知函數(shù)y=logax，其中a∈{a|20＜12a-a2}．
（1）判斷函數(shù)y=log_ax的增減性；
（2）若命題p：|f(

x

)|＜1-|f(2

x

)|為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a²-12a+20＜0，即2＜a＜10，可得函數(shù)y=log_ax是增函數(shù)．
（2）不等式即 |loga

x

|+|loga2

x

|＜1，分0＜x＜

1

4

和

1

4

≤x＜1 以及x≥1三種情況，去掉絕對值，
分別求出解集，取并集即得所求．

解答：解：（1）∵a∈{a|120＜12a-a²}，∴a²-12a+20＜0，即2＜a＜10，∴函數(shù)y=log_ax是增函數(shù)．
（2）|f(

x

)|＜1-|f(2

x

)|，即 |loga

x

|+|loga2

x

|＜1，必有 x＞0．
當(dāng)0＜x＜

1

4

時(shí)，loga

x

＜loga2

x

＜0，不等式化為-loga

x

-loga2

x

＜1，
∴-log_a2x＜1，故log_a2x＞1，∴x＞

1

2a

，此時(shí)，

1

2a

＜x＜

1

4

．
當(dāng)

1

4

≤x＜1 時(shí)，loga

x

＜0＜loga2

x

，
不等式化為 -loga

x

+loga2

x

＜1，∴l(xiāng)og_a2＜1，這顯然成立，此時(shí)

1

4

≤x＜1．
當(dāng)x≥1時(shí)，0≤loga

x

＜loga2

x

，不等式化為 loga

x

+loga2

x

＜1，∴l(xiāng)og_a2x＜1，
故x＜

a

2

，此時(shí)，1≤x＜

a

2

．
綜上所述知，使命題p為真命題的x的取值范圍是 {x|

1

2a

＜x＜

a

2

}．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．