Question

某鄉(xiāng)為提高當(dāng)?shù)厝罕姷纳�活水平，由政府投資興建了甲、乙兩個(gè)企業(yè)，1997年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤(rùn)320萬(wàn)元，從乙企業(yè)獲得利潤(rùn)720萬(wàn)元．以后每年上交的利潤(rùn)是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤(rùn)的

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．根據(jù)測(cè)算，該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)獲得的利潤(rùn)達(dá)到2000萬(wàn)元可以解決溫飽問(wèn)題，達(dá)到8100萬(wàn)元可以達(dá)到小康水平．
（1）若以1997年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)最少的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬(wàn)元才能解決溫飽問(wèn)題？
（2）試估算2005年底該鄉(xiāng)能否達(dá)到小康水平？為什么？

Answer 1

分析：（1）以1997年為第一年，根據(jù)甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤(rùn)的

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，則第n年該鄉(xiāng)從這兩家企業(yè)獲得的利潤(rùn)為yn=320×(

3

2

)n-1+720×(

2

3

)n-1，(n≥1)，利用基本不等式可求兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)最少的一年，從而可求還需另籌資金1040萬(wàn)元可解決溫飽問(wèn)題．
（2）2005年為第9年，該年可從兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)y9=320×(

3

2

)8+720×(

2

3

)8，利用基本不等式可知y₉＞8100
，從而可知該鄉(xiāng)到2005年底可以達(dá)到小康水平．

解答：解：（1）若以1997年為第一年，則
∵甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤(rùn)的

2

3

∴第n年該鄉(xiāng)從這兩家企業(yè)獲得的利潤(rùn)為yn=320×(

3

2

)n-1+720×(

2

3

)n-1，(n≥1)
∴y_n=80[4×(

3

2

)n-1+9×(

2

3

)n-1]≥2×80×

4×( 3 2 )n-1×9×( 2 3 )n-1

=2×80×6=960
當(dāng)且僅當(dāng)4×(

3

2

)n-1=9×(

2

3

)n-1，即n=2時(shí)，等號(hào)成立，
所以第二年（1998年）上交利潤(rùn)最少，利潤(rùn)為960萬(wàn)元．
由2000-960=1040（萬(wàn)元）知：還需另籌資金1040萬(wàn)元可解決溫飽問(wèn)題．
（2）2005年為第9年，該年可從兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)y9=320×(

3

2

)8+720×(

2

3

)8＞320×(

3

2

)8=320×

81×81

16×16

=20×

81×81

16

＞20×81×5=8100
所以該鄉(xiāng)到2005年底可以達(dá)到小康水平．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型，利用基本不等式解決最值問(wèn)題，屬于中檔題．