Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=（a_n-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=yz{}^n-1-．
（1）求a_n與b_n的表達式；
（2）設(shè)c_n=（n+）bn，試問數(shù)列{c_n}有沒有最小項？如果有，求出這個最小項；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=（a_n-1），知a₁=a，．所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．由b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=（n+10）•（）^n-1-得：b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n+9）•（）^n-2-（n≥2）．由此能求出b_n．
（2），所以c_n+1-c_n=-（）ⁿ+（）^n-1=•（）^n-1．經(jīng)分類討論知c₉、c₈是數(shù)列的最小項且c₈=c₉=-（）⁷．
解答：解：（1）因為S_n=（a_n-1），
所以，當n=1時，a₁=S₁=（a₁-1），解之得a₁=a；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a_n-a_n-1，即．
又a≠0，a≠1，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
由b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=（n+10）•
（）^n-1-得：b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n+9）•（）^n-2-（n≥2）．
兩式相減得nb_n=（n+10）•（）^n-1-（n+9）•（）^n-2=-（）^n-2．
故b_n=-•（）^n-1（n≥2），
當n=1時，b₁=11-=-也符合上式，
故b_n=-•（）^n-1．
（2），
所以c_n+1-c_n=-（）ⁿ+（）^n-1
=•（）^n-1．
當n＞8時，c_n+1＞c_n，故c₉＜c₁₀＜，
當n=8時，c_n+1-c_n=0，故c₉=c₈，
當n＜8時，c_n+1＜c_n，故c₁＞c₂＞c₃＞＞c₈．
綜上可得，c₉、c₈是數(shù)列的最小項且c₈=c₉=-（）⁷．
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法和用分類討論思想求解數(shù)列的最小值，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理選用．