Question

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)和△MAB面積的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由；由得．所以c=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）動(dòng)直線l的方程為，由得．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則．由此入手能求出當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，△MAB面積的最大值．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則由得；
由得，
即．
所以c=1…（2分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124541205559608/SYS201310251245412055596021_DA/13.png">，所以a²=2，b²=1．…（3分）
因此所求橢圓的方程為．…（4分）
（2）動(dòng)直線l的方程為，
由，
得．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則．…（6分）
假設(shè)在y上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，
則．
=
=
=
=．
由假設(shè)得對(duì)于任意的恒成立，
即，
解得m=1．
故在y軸上存在定點(diǎn)M（0，1），
使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)…（10分）
這時(shí)，點(diǎn)M到AB的距離，
．

設(shè)2k²+1=t，
則，
得．
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立．
因此，△MAB面積的最大值是．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．