Question

已知點F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：x2-

y2

b2

=1(b＞0)的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點M，且∠MF1F2=300，圓O的方程為x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的點到兩條漸近線的距離分別為d₁，d₂，求d₁•d₂的值；
（3）過圓O上任意一點P（x₀，y₀）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)F₂，M的坐標，利用點M在雙曲線C上，∠MF₁F₂=30°，可得|MF1|-|MF2|=b2=2，利用雙曲線的定義，可得雙曲線C的方程；
（2）先確定兩條漸近線方程，設(shè)雙曲線C上的點Q（x₀，y₀），求出點Q到兩條漸近線的距離，結(jié)合Q（x₀，y₀）在雙曲線C上，即可求d₁•d₂的值；
（3）解一：利用圓的參數(shù)方程設(shè)P的坐標，求出切線l的方程代入雙曲線，兩邊除以x²，再利用韋達定理，即可得到結(jié)論；
解二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：x₀x+y₀y=2代入雙曲線C中，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)F₂，M的坐標分別為(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)-------------------（1分）
因為點M在雙曲線C上，所以1+b2-

y02

b2

=1，即y0=±b2，所以|MF2|=b2------------（2分）
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2------------（3分）
由雙曲線的定義可知：|MF1|-|MF2|=b2=2
故雙曲線C的方程為：x2-

y2

2

=1-------------------（4分）
（2）由條件可知：兩條漸近線分別為l1：

2

x-y=0；l2：

2

x+y=0-------------------（5分）
設(shè)雙曲線C上的點Q（x₀，y₀），
則點Q到兩條漸近線的距離分別為d1=

| 2 x0-y0|

3

，d2=

| 2 x0+y0|

3

-------------------（7分）
所以d1•d2=

| 2 x0-y0|

3

•

| 2 x0+y0|

3

=

|2x02-y02|

3

-------------------（8分）
因為Q（x₀，y₀）在雙曲線C：x2-

y2

2

=1上，所以2x02-y02=2-------------------（9分）
故d1•d2=

|2x02-y02|

3

=

2

3

-------------------（10分）
（3）解一：因為P（x₀，y₀）為圓O：x²+y²=2上任意一點，設(shè)x0=

2

cosα，y0=

2

sinα
所以切線l的方程為：xcosα+ysinα=

2

-------------------（12分）
代入雙曲線C：2x²-y²=2=（xcosα+ysinα）²
兩邊除以x²，得(1+sin2α)(

y

x

)2+2sinαcosα(

y

x

)+cos2α-2=0-------------------（13分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y1

x1

，

y2

x2

是上述方程的兩個根
由韋達定理知：

y1y2

x1x2

=

cos2α-2

sin2α+1

=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0-------------------（15分）
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0-------------------（16分）
解二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：x₀x+y₀y=2-------------------（12分）
①當y₀≠0時，切線l的方程代入雙曲線C中，化簡得：(2y02-x02)x2+4x0x-(2y02+4)=0
所以：x1+x2=-

4x0

(2y02-x02)

，x1x2=-

(2y02+4)

(2y02-x02)

-------------------（13分）
又y1y2=

(2-x0x1)

y0

•

(2-x0x2)

y0

=

1

y02

[4-2x0(x1+x2)+x02x1x2]=

8-2x02

2y02-x02

所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

(2y02+4)

(2y02-x02)

+

8-2x02

2y02-x02

=

4-2(x02+y02)

2y02-x02

=0-----------（15分）
②當y₀=0時，易知上述結(jié)論也成立．
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0-------------------（16分）

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查圓的切線方程，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．