Question

5．若x，y為實數(shù)，且x²+2xy-y²=7，則x²+y²的最小值為$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)x²+y²=r²，則x=rcosa，y=rsinα，利用三角換元得到sin（2a+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{2{r}^{2}}$，根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：x²+2xy-y²=7，
設(shè)x²+y²=r²，
則x=rcosa，y=rsinα，
∴（rcosα）²+2r²sinαcosα-（rsinα）²=7，
即r²（cos2α+sin2α）=7，
∴$\sqrt{2}$r²sin（2α+$\frac{π}{4}$）=7，
∴r²sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（2a+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{2{r}^{2}}$
∴r²≥$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
故則x²+y²的最小值為$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了利用三角換元法求出不等式的最值問題，換元是關(guān)鍵，屬于中檔題．