Question

如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面圓O上，AB為圓O的直徑，圓柱OO₁的表面積為24π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求三棱錐A₁-APB的體積．
（2）求異面直線A₁B與OP所成角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析：（1）由題意圓柱OO₁的表面積為24π，OA=2，∠AOP=120°建立關(guān)于圓柱高的方程求出AA₁=4，即得棱錐的高，再由，∠AOP=120°解出解出AP，進(jìn)而解出BP，即可解出底面積，再棱錐的體積公式求體積即可；
（2）取AA₁中點Q，連接OQ，PQ，可證得∠POQ或它的補(bǔ)角為異面直線A₁B與OP所成的角，在三角形POQ中求異面直線所成的角即可．

解答：解：（1）由題意S_表=2π•2²+2π•2•AA₁=24π，
解得AA₁=4．（2分）
在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，
所以AP=2

3

（3分）
在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，
所以BP=2（4分）
VA1-APB=

1

3

S△APB•AA1（5分）
=

1

3

•

1

2

•2

3

•2•4=

8 3

3

（6分）
（2）取AA₁中點Q，連接OQ，PQ，則OQ∥A₁B，
得∠POQ或它的補(bǔ)角為異面直線A₁B與OP所成的角．（8分）
又AP=2

3

，AQ=AO=2，得OQ=2

2

，PQ=4，（10分）
由余弦定理得cos∠POQ=

PO2+OQ2-PQ2

2PO•OQ

=-

2

4

，（12分）
得異面直線A₁B與OP所成的角為arccos

2

4

．（14分）

點評：本題考查了求三棱錐的體積與求兩異面直線所成的角，在圓柱這一背景下，考查這兩個問題方式比較新穎，解答本題關(guān)鍵是正確理解這些幾何圖形之間的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化．