Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF=1，
（1）求證：BD⊥平面AED；
（2）求B到平面FDC的距離．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由題意及圖可得，先由條件證得AD⊥BD及AE⊥BD，再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；
（2）設點B到平面FDC的距離為h，利用等積法即則V_F-CDB=V_B-FDC得到關于h的方程解之．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，
∴∠CDB=30°，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，
∴BD⊥平面AED；
解：（2）設點B到平面FDC的距離為h，
則V_F-CDB=V_B-FDC，∴

1

3

S△CDBFC=

1

3

S△FDCh
∵S△CDB=

3

4

，S△CDB=

1

2

，
∴h=

3

2

．

點評：本題考查線面垂直的證明與點到面的距離的求法，解題的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理及等積法求點到面的距離．