Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin²（

π

4

+x）+2cos²x-

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=3，f（c）=2，若向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式先利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，去括號合并后，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞增區(qū)間；
（2）利用（1）化簡得到的f（x）化簡f（C）=2，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)，再由兩向量共線，利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡后，利用正弦定理得到a與b的關(guān)系式，由c及cosC的值，利用余弦定理即可得到關(guān)于a與b的另一個關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式即可求出a與b的值．

解答：解：（1）f（x）=2

3

sin²（

π

4

+x）+2cos²x-

3

=2

3

×

1-cos( π 2 +2x)

2

+2×

1+cos2x

2

-

3

=

3

（sin2x+1）+cos2x+1-

3

=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
∵正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]；
（2）∵f（C）=2sin（2C+

π

6

）+1=2，
∴sin（2C+

π

6

）=

1

2

，又C為三角形的內(nèi)角，
∴C=

π

3

，
又∵向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，
∴sinB=2sinA，
根據(jù)正弦定理化簡得：b=2a①，又c=3，
根據(jù)余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=a²+b²-ab=9②，
聯(lián)立①②解得a=

3

，b=2

3

．

點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦、余弦定理以及平面向量的數(shù)量積的運算，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．