Question

關(guān)于x方程

x2

a

-x=lnx有唯一的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：要使方程有意義，則x＞0，
設(shè)f（x）=

x2

a

-x，g（x）=lnx，
若a＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)，單調(diào)遞減，g（x）=lnx單調(diào)遞增，
此時(shí)兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足方程有唯一解；
若a＞0，要使方程

x2

a

-x=lnx有唯一的解，
則f（x）與g（x）在（1，0）處相切，
即此時(shí)f（1）=0，即a=1，滿足條件．
故答案為：{a|a＜0或a=1}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．