Question

3．在△ABC中，若2sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，則角A的取值范圍是（0，$\frac{π}{6}$]．

Answer 1

分析 【解法一】由2sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，利用正弦、余弦定理求出cosA的值，即可得出A的取值范圍．
【解法二】根據(jù)題意，利用三角形的內(nèi)角和定理化B為A，C，再按照角A，C的關(guān)系，利用構(gòu)造法求出A的三角函數(shù)的范圍，從而求出A的取值范圍．

解答 解：【解法一】△ABC中，2sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，
∴2a+b=$\sqrt{3}$c，
∴4a²=b²+3c²-2$\sqrt{3}$bc，
利用余弦定理，
cosA=$\frac{{c}^{2}{+b}^{2}-{a}^{2}}{2cb}$
=$\frac{{c}^{2}{+b}^{2}-{\frac{1}{4}b}^{2}-{\frac{3}{4}c}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}bc}{2bc}$
=$\frac{{\frac{3}{4}b}^{2}+{\frac{1}{4}c}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}bc}{2bc}$
≥$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{4}bc+\frac{\sqrt{3}}{2}bc}{2bc}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)c=$\sqrt{3}$b時(shí)等號(hào)成立，
又A∈（0，π），
∴A∈（0，$\frac{π}{6}$]．
【解法二】】△ABC中，2sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，
∴2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB=$\sqrt{3}$sinC-sin（A+C）
=$\sqrt{3}$sinC-sinAcosC-cosAsinC，
∴$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}$=$\frac{sinC}{2+cosC}$，
令$\frac{sinC}{2+cosC}$=$\frac{1}{m}$，則msinC=2+cosC，
可得m²sin²C=4+2cosC+cos²C，
∴（1+m²）cos²C+4cosC+4-m²=0，
關(guān)于cosC的方程有解，可得△=16-4（1+m²）（4-m²）≥0，
解得：m≥$\sqrt{3}$；
∴$\frac{sinC}{2+cosC}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即sin（A+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又A是三角形的內(nèi)角，
∴0＜A+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{3}$，
可得A∈（0，$\frac{π}{6}$]．
故答案為：（0，$\frac{π}{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的解法以及兩角和與差的三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．