設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之乘積是bn,且λan+bn=1(λ∈R,λ>0)
(1)探求an、bn、bn-1之間的關(guān)系式;
(2)設(shè)λ=1,求證{
1
bn
}是等差數(shù)列;
(3)設(shè)λ=2,求證:b1+b2+…+bn
2
3
分析:(1)利用各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之乘積是bn,且λan+bn=1,即可探求an、bn、bn-1之間的關(guān)系式;
(2)當(dāng)n≥2時(shí),將an=
bn
bn-1
代入an+bn=1中,即可證得結(jié)論;
(3)求出數(shù)列的通項(xiàng),利用放縮法及等比數(shù)列的求和公式,即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之乘積是bn,得a1=b1,an=
bn
bn-1
(2分)
(2)證明:令n=1,得λa1+b1=1,又a1=b1,∴b1=
1
λ+1

∵λ=1,∴b1=
1
2
  (3分)
當(dāng)n≥2時(shí),將an=
bn
bn-1
代入an+bn=1中,得
bn
bn-1
+bn=1,則
1
bn
=
1
bn-1
+1  (4分)
∴數(shù)列{
1
bn
}是以2為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列
(3)解:∵2a1+b1=1,a1=b1∴3b1=1,b1=
1
3
  (5分)
當(dāng)λ=2時(shí),將an=
bn
bn-1
代入2an+bn=1中,得2
bn
bn-1
+bn=1
1
bn
=2
1
bn-1
+1  (6分)
1
bn
+1=2(
1
bn-1
+1)(7分)
∴{
1
bn
+1}是以
1
b1
+1=4為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列 (8分)
1
bn
+1=2n+1
bn=
1
2n+1-1

1
2n+1-1
1
2n+1-2
=
1
2
1
2n-1

bn
1
2
bn-1
(n≥2)
∴b1+b2+…+bn≤b1+
1
2
b1+…+
1
2n-1
b1=b1
1-
1
2n
1-
1
2
<b1
1
1
2
=
2
3

∴b1+b2+…+bn
2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合,考查等差數(shù)列的證明,考查不等式的證明,考查放縮法的運(yùn)用,有一定的難度.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時(shí)滿足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素;②在定義域內(nèi)存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n).
(I)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(II)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{bn}中,所有滿足bi•bi+1<0的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列{bn}的變號(hào)數(shù),令bn=1-
aan
(n∈N*),求數(shù)列{bn}的變號(hào)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•肇慶二模)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,n∈N*
(1)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的值;
(2)設(shè)bn=nan,在(1)的條件下,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
(3)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足ci•ci+1<0的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”,令cn=
bn-4bn
(n∈N*),在(2)的條件下,求數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
an
3n
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足cm•cm+1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù),稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù),若cn=1-
a
an
(n∈N*)
,求數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•茂名二模)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,(n=1,2,…)
(1)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的值;
(2)設(shè)bn=(n+1)•log3an+1,數(shù)列{
1
bn
}前n項(xiàng)和Tn.在(1)的條件下,證明不等式Tn<1;
(3)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足ci•ci+1<0的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”,在(1)的條件下,令cn=
nan-4
nan
(n=1,2,…),求數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”

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