分析 (1)由題意可得b=2,c=1,解得a,可得橢圓的方程,設(shè)橢圓上一點(diǎn)(m,n),代入橢圓方程,再由兩點(diǎn)的距離公式,化簡整理可得n的二次函數(shù),即可得到所求最大值;
(2)①當(dāng)過點(diǎn)F(1,0)的直線的斜率不存在,顯然成立;當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率存在,設(shè)為x=my+1,代入橢圓方程4x2+5y2=20,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得ST的中點(diǎn)Q的坐標(biāo),再由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,可得n=-4m,由直線的斜率公式即可得證;
②由①可得k2=n4,運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式,計(jì)算k1+k3,運(yùn)用點(diǎn)滿足直線方程,化簡整理,代入韋達(dá)定理,結(jié)合等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)即可得證.
解答 解:(1)由題意可得b=2,c=1,a=√2+c2=√5,
可得橢圓方程為x25+y24=1,
設(shè)橢圓上一點(diǎn)(m,n),可得m25+n24=1,即m2=5(1-n24),
即有d=√m2+(n−6)2=√5(1−n24)+(n−6)2
=√−14n2−12n+41=√−14(n+24)2+185,
由于-2≤n≤2,可得n=-2時(shí),d取得最大值8;
(2)①證明:當(dāng)過點(diǎn)F(1,0)的直線的斜率不存在,即為x=1,
顯然有直線OP平分線段ST;
當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率存在,設(shè)為x=my+1,
代入橢圓方程4x2+5y2=20,可得
(4m2+5)y2+8my-16=0,
設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),可得
y1+y2=-8m4m2+5,y1y2=-164m2+5,(*)
線段ST的中點(diǎn)Q坐標(biāo)為(54m2+5,-4m4m2+5),
由橢圓的準(zhǔn)線方程可得l:x=5,
設(shè)P(5,n),即有直線OP的斜率為n5,
由PF⊥ST,可得kPF=n5−1=-m,即n=-4m,
可得直線OP的斜率和直線OQ的斜率相等,且為-4m5,
則直線OP平分線段ST;
②證明:由①可得k2=n4,
k1+k3=y1−nx1−5+y2−nx2−5=y1−nmy1−4+y2−nmy2−4
=8n+2my1y2−(4+mn)(y1+y2)m2y1y2+16−4m(y1+y2),
代入(*),可得k1+k3=8n(5+4m2)−32m+8m(4+mn)−16m2+16(5+4m2)+32m2=n2,
即有k1+k3=2k2,則k1,k2,k3成等差數(shù)列.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)的運(yùn)用,考查兩點(diǎn)的距離的最值的求法,注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法,考查兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √3 | B. | 2 | C. | √5 | D. | √7 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=cos(x2+π6) | B. | y=sin(2x+5π6) | C. | y=cos(2x−π3) | D. | y=sin(2x−π6) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √10 | B. | √103 | C. | 2√105 | D. | √62 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {2} | B. | {3} | C. | {2,3} | D. | {3,4} |
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