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3.已知橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)上頂點(diǎn)A(0,2),右焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)M(0,6)的距離為d.
(1)求d的最大值;
(2)過點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)S,T兩點(diǎn),P為準(zhǔn)線l上一動(dòng)點(diǎn).
①若PF⊥ST,求證:直線OP平分線段ST;
②設(shè)直線PS,PF,PT的斜率分別為k1,k2,k3,求證:k1,k2,k3成等差數(shù)列.

分析 (1)由題意可得b=2,c=1,解得a,可得橢圓的方程,設(shè)橢圓上一點(diǎn)(m,n),代入橢圓方程,再由兩點(diǎn)的距離公式,化簡整理可得n的二次函數(shù),即可得到所求最大值;
(2)①當(dāng)過點(diǎn)F(1,0)的直線的斜率不存在,顯然成立;當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率存在,設(shè)為x=my+1,代入橢圓方程4x2+5y2=20,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得ST的中點(diǎn)Q的坐標(biāo),再由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,可得n=-4m,由直線的斜率公式即可得證;
②由①可得k2=n4,運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式,計(jì)算k1+k3,運(yùn)用點(diǎn)滿足直線方程,化簡整理,代入韋達(dá)定理,結(jié)合等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)即可得證.

解答 解:(1)由題意可得b=2,c=1,a=2+c2=5,
可得橢圓方程為x25+y24=1,
設(shè)橢圓上一點(diǎn)(m,n),可得m25+n24=1,即m2=5(1-n24),
即有d=m2+n62=51n24+n62
=14n212n+41=14n+242+185
由于-2≤n≤2,可得n=-2時(shí),d取得最大值8;
(2)①證明:當(dāng)過點(diǎn)F(1,0)的直線的斜率不存在,即為x=1,
顯然有直線OP平分線段ST;
當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率存在,設(shè)為x=my+1,
代入橢圓方程4x2+5y2=20,可得
(4m2+5)y2+8my-16=0,
設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),可得
y1+y2=-8m4m2+5,y1y2=-164m2+5,(*)
線段ST的中點(diǎn)Q坐標(biāo)為(54m2+5,-4m4m2+5),
由橢圓的準(zhǔn)線方程可得l:x=5,
設(shè)P(5,n),即有直線OP的斜率為n5
由PF⊥ST,可得kPF=n51=-m,即n=-4m,
可得直線OP的斜率和直線OQ的斜率相等,且為-4m5,
則直線OP平分線段ST;
②證明:由①可得k2=n4,
k1+k3=y1nx15+y2nx25=y1nmy14+y2nmy24
=8n+2my1y24+mny1+y2m2y1y2+164my1+y2
代入(*),可得k1+k3=8n5+4m232m+8m4+mn16m2+165+4m2+32m2=n2,
即有k1+k3=2k2,則k1,k2,k3成等差數(shù)列.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)的運(yùn)用,考查兩點(diǎn)的距離的最值的求法,注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法,考查兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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