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已知直線y=kx與曲線y=lnx有公共點,則k的最大值為( 。
A、
1
e
B、
2
e
C、1
D、
2
e
分析:要使直線y=kx與曲線y=lnx有公共點,只需kx=lnx有解,再利用分離參數法通過函數的導數求解即可.
解答:解:由題意,令kx=lnx,則k=
lnx
x

記f(x)=
lnx
x
,f'(x)=
1-lnx
x2
.f'(x)在(0,e)上為正,在(e,+∞)上為負
可以得到f(x)的取值范圍為(-∞,
1
e
]這也就是k的取值范圍,
∴k的最大值為:
1
e

故選:A.
點評:本題將曲線的交點問題轉化為方程根問題,進一步利用導數求解,屬于中檔題.
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e
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