Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：CD⊥AE；
（2）證明：PD⊥平面ABE；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，從而證得CD⊥AE．
（2）由等腰三角形的底邊中線的性質(zhì)可得AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．
（3）由題可知 PA，AB，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面BPC和平面PCD的法向量，代入向量夾角公式可得答案．

解答：證明：（1）PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，AE?面PAC，
∴CD⊥AE．
（2）PA=AB=BC，∠ABC=60°，
∴PA=AC，E是PC的中點(diǎn)，
∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．易知BA⊥PD，
∴PD⊥面ABE．
解：（3）由題可知 PA，AB，AD兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則B（2，0，0），C（1，

3

，0），P（0，0，2），D（0，

4

3

，0）
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為

m

=（x，y，z），

PB

=（2，0，-2），

BC

=（-1，

3

，0）

PB • m =0 BC • m =0

，即

2x-2z=0 -x+ 3 y=0

，
取y=

3

，則x=z=3
即

m

=（3，

3

，3）
設(shè)面PDC的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，

PC

=(1，

3

，-2)，

PD

=(0，

4

3

，-2)

PC • n =0 PD • n =0

，即

x+ 3 y-2z=0 4 3 y-2z=0

取y=

3

，則x=1，z=2，
即

n

=(1，

3

，2)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3+3+6

21 8

=

42

7

由圖可知鈍二面角B-PC-D的余弦值為-

42

7

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，利用向量法求二面角B-PC-D是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．