Question

19．設函數f（x）=x-asinx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤cosx，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過x=0成立，x＞0時，問題轉化為a≥$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時，f（x）=x-2sinx，
f′（x）=1-2cosx，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{π}{3}$＜x≤$\frac{π}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜$\frac{π}{3}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）遞減，在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]遞增；
（Ⅱ）若f（x）≤cosx，
即asinx≥x-cosx，
x=0時，顯然成立，
0＜x≤$\frac{π}{2}$時，
a≥$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
令g（x）=$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
g′（x）=$\frac{1+sinx-xcosx}{{（sinx）}^{2}}$，
令h（x）=1+sinx-xcosx，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
h′（x）=xsinx＞0，
故h（x）在（0，$\frac{π}{2}$]遞增，
h（x）＞h（0）=1＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]遞增，
∴g（x）_max=g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，
故a≥$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．