Question

（1）若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2cos(θ+

π

3

)，它們相交于A，B兩點，求線段AB的長．
（2）過點P（-3，0）且傾斜角為30°直線和曲線

x=t+ 1 t y=t- 1 t

 (t為參數(shù))相交于A、B兩點．求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）極坐標方程ρ=1與ρ=2cos(θ+

π

3

)，為直角坐標方程，聯(lián)立求出交點，然后求得AB的長．
（2）求出直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，求出AB的長．

解答：解：（1）：由ρ=1得x²+y²=1，
又∵ρ=2cos(θ+

π

3

)=cosθ-

3

sinθ，∴ρ2=ρcosθ-

3

ρsinθ
∴x2+y2-x+

3

y=0，（4分）
由

x2+y2=1 x2+y2-x+ 3 y=0

得A(1，0)，B(-

1

2

，-

3

2

)，（6分）
∴AB=

(1+ 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=

3

（8分）
（2）．直線的參數(shù)方程為

x=-3+ 3 2 s y= 1 2 s

(s為參數(shù))，（10分）
曲線

x=t+ 1 t y=t- 1 t

(t為參數(shù))可以化為x²-y²=4．（12分）
將直線的參數(shù)方程代入上式，得s2-6

3

s+10=0．
設A、B對應的參數(shù)分別為s₁，s₂，
∴s1+s2=6

3

，s1s2=10．（14分）
AB=|s1-s2|=

(s1+s2)2-4s1s2

=2

17

．（16分）

點評：本題考查直線的參數(shù)方程，圓的極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查計算能力，是中檔題．