已知:二次函數(shù)g(x)=ax2-2ax+b+1(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4,最小值1.
(1)求二次函數(shù)g(x)的圖象的對(duì)稱軸方程;
(2)求函數(shù)g(x)的解析式;
(3)設(shè)f(x)=
g(x)
x
.若f(2x)-k•2x≥0在x∈[-1
,1
時(shí)恒成立,求k的取值范圍.
分析:(1)對(duì)g(x)進(jìn)行配方即可求得;
(2)先判斷g(x)的單調(diào)性,由單調(diào)性得到其最值,根據(jù)最值列出方程組,解出即可;
(3)由f(2x)-k•2x≥0在x∈[-1
,&1
時(shí)恒成立,分離出參數(shù)k,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,換元后利用二次函數(shù)知識(shí)可求出最值.
解答:解:(1)∵g(x)=a(x-1)2-a+1+b,
∴函數(shù)g(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=1.
(2)∵a>0,∴g(x)=a(x-1)2-a+1+b在區(qū)間[2,3]上遞增.
依題意得
g(2)=1
g(3)=4
,即
a-a+1+b=1
4a-a+1+b=4
,解得
a=1
b=0
,
∴g(x)=x2-2x+1.
(3)f(x)=
g(x)
x
=x+
1
x
-2

f(2x)-k•2x≥0在x∈[-1,1]時(shí)恒成立,
即  2x+
1
2x
-2-k•2x≥0
在x∈[-1,1]時(shí)恒成立,也即k≤(
1
2x
)2
-2(
1
2x
)
+1在x∈[-1,1]時(shí)恒成立,
t=
1
2x
,由x∈[-1,1]得t∈[
1
2
,2].
(
1
2x
)2
-2(
1
2x
)
+1=t2-2t+1=(t-1)2,∴當(dāng)t=1時(shí),取得最小值0.
∴k≤0.即實(shí)數(shù)k的取值范圍(-∞,0].
點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及閉區(qū)間上的最值問題,對(duì)于恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值是解決該類問題的常用方法.
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(2011•臨沂二模)已知:二次函數(shù)g(x)是偶函數(shù),且g(1)=0,對(duì)?x∈R,有g(shù)(x)≥x-1恒成立,令f(x)=g(x)+mlnx+
12
,(m∈R)
(I)求g(x)的表達(dá)式;
(II)當(dāng)m<0時(shí),若?x>0,使f(x)≤0成立,求m的最大值;
(III)設(shè)1<m<2,H(x)=f(x)-(m+1)x,證明:對(duì)?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:二次函數(shù)g(x)是偶函數(shù),且g(1)=0,對(duì)?x∈R,有g(shù)(x)≥x-1恒成立,令f(x)=g(x)+mlnx+數(shù)學(xué)公式,(m∈R)
(I)求g(x)的表達(dá)式;
(II)當(dāng)m<0時(shí),若?x>0,使f(x)≤0成立,求m的最大值;
(III)設(shè)1<m<2,H(x)=f(x)-(m+1)x,證明:對(duì)?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

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已知:二次函數(shù)g(x)是偶函數(shù),且g(1)=0,對(duì)?x∈R,有g(shù)(x)≥x-1恒成立,令f(x)=g(x)+mlnx+,(m∈R)
(I)求g(x)的表達(dá)式;
(II)當(dāng)m<0時(shí),若?x>0,使f(x)≤0成立,求m的最大值;
(III)設(shè)1<m<2,H(x)=f(x)-(m+1)x,證明:對(duì)?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

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(2)求函數(shù)g(x)的解析式;
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