Question

求f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx的單調(diào)區(qū)間（a＞0）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)a討論，分①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，②當(dāng)a=1時(shí)，③當(dāng)a＞1時(shí)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
∴f′（x）=2x-2（a+1）+

2a

x

=

2x2-2(a+1)x+2a

x

，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0；
在x∈（a，1）時(shí)，f'（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
②當(dāng)a=1時(shí)，在x∈（0，+∞）時(shí)f'（x）≥0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
③當(dāng)a＞1時(shí)，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0；
在x∈（1，a）時(shí)，f'（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，a）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查分類討論的思想方法，正確分類是解決本題的關(guān)鍵．