Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，直線AF的傾斜角為45°，
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與AF垂直的直線與橢圓右準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，過(guò)A、B、F三點(diǎn)的圓M恰好與直線3x-y+3=0相切，求橢圓的方程及圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）由直線AF的傾斜角為45°可知b=c，進(jìn)而根據(jù)a=

b2+c2

求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而可得答案．
（2）依題意可得直線AB的方程為y=-x+c，右準(zhǔn)線方程為x=2c，進(jìn)而可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)AF⊥AB可知過(guò)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)進(jìn)而可得圓的半徑，根據(jù)過(guò)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的圓恰好與直線3x-y+3=0相切可知圓心到直線3x-y+3=0的距離等于半徑，建立等式可求得b，進(jìn)而求得a和c．橢圓和圓的方程可得．

解答：解：（1）∵直線AF的傾斜角為45°，
∴b=c，
∴a=

b2+c2

=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

所以橢圓的離心率為

2

2

；
（2）由（1）知b=c，a=

2

c，直線AB的方程為y=-x+c，右準(zhǔn)線方程為x=2c，
可得B（2c，-c），
∵AF⊥AB，
∴過(guò)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(

c

2

，-

c

2

)，
半徑r=

1

2

FB=

10

2

c，
∵過(guò)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的圓恰好與直線3x-y+3=0相切，
所以圓心到直線3x-y+3=0的距離等于半徑r，即

| 3 2 c+ 1 2 c+3|

10

=

10

2

c，
得c=1，
∴b=1，a=

2

，所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
圓M的方程為(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．注意圓錐曲線之間相交和相切的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系找到解決問(wèn)題的途徑．