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已知向量,設函數的圖象關于直線對稱,其中ω為常數,且ω∈(0,1).
(Ⅰ)求函數f(x)的表達式;
(Ⅱ)若將y=f(x)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112317568593594/SYS201312021123175685935018_ST/4.png">,再將所得圖象向右平移個單位,縱坐標不變,得到y(tǒng)=h(x)的圖象,若關于x的方程h(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數解,求實數k的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)利用向量的數量積公式化簡函數,結合函數的圖象關于直線對稱,且ω∈(0,1),即可求得函數f(x)的表達式;
(Ⅱ)確定h(x)=2sin(2x-),關于x的方程h(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數解,等價于2sint+k=0在上有且只有一個實數解,由此可得結論.
解答:解:(Ⅰ)∵向量,,
=(cos2ωx-sin2ωx,sinωx)•=cos2ωx+sin2ωx=2sin(2ωx+
∵函數圖象關于直線對稱,∴2sin(πω+)=±2
∴πω+=kπ+(k∈Z),即ω=k+(k∈Z)
∵ω∈(0,1),∴k=0,ω=
∴f(x)=2sin(x+);
(Ⅱ)若將y=f(x)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112317568593594/SYS201312021123175685935018_DA/18.png">,再將所得圖象向右平移個單位,縱坐標不變,得到y(tǒng)=h(x)=2sin(2x-)的圖象,
令2x-=t,∵x∈,∴
∴關于x的方程h(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數解,即2sint+k=0在上有且只有一個實數解,
即y=2sint,的圖象與y=-k有且只有一個交點,
∴-<k≤或k=-2.
點評:本題考查向量的數量積運算,考查函數解析式的確定,考查圖象的變換,考查解的問題,確定函數的解析式是關鍵.
練習冊系列答案
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(Ⅱ)若將y=f(x)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202111854943780076/SYS201312021118549437800018_ST/4.png">,再將所得圖象向右平移個單位,縱坐標不變,得到y(tǒng)=h(x)的圖象,若關于x的方程h(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數解,求實數k的取值范圍.

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(本小題滿分12分)

已知向量,設函數的圖象關于直線對稱,其中,為常數,且.

(Ⅰ)求函數的最小正周期;

(Ⅱ)若的圖象經過點,求函數在區(qū)間上的取值范圍.

 

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