Question

直線y=kx+1與曲線f（x）=x³+ax+b相切于點A（1，3）
（1）求f（x）；
（2）若g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x（t∈R），討論函數g（x）單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）把點A的坐標代入直線方程求出k的值，即曲線在點A處的切線的斜率，求出原函數的導函數，由
f′（1）等于切線的斜率求得a的值，再把點A的坐標代入曲線方程求得b的值，則函數解析式可求；
（2）把f（x）代入g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x，整理后求其導數g′(x)=

1

x

+t-1，然后對t-1
大于等于0和t-1小于0分類討論，當t-1≥0時，g′（x）＞0，原函數在定義域內單調遞增；當t-1＜0時，分別由導函數大于0和小于0求解原函數的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）把點A（1，3）代入直線y=kx+1，得3=k+1，
∴k=2．
由f（x）=x³+ax+b，得f′（x）=3x²+a，
∴f′（1）=3+a=2，則a=-1．
把點A（1，3）代入曲線f（x）=x³-x+b，得：
f（1）=1³-1+b=3，
∴b=3．
∴f（x）=x³-x+3；
（2）g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x=lnx+（t-1）x+3，
g′(x)=

1

x

+t-1（x＞0）．
當t-1≥0，即t≥1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）單調遞增；
當t-1＜0，即t＜1時，
由g′（x）＞0，得0＜x＜

1

1-t

，
由g′（x）＜0，得x＞

1

1-t

．
∴g（x）在(0，

1

1-t

)單調遞增，(

1

1-t

，+∞)單調遞減；
綜上：當t≥1時，g（x）在（0，+∞）單調遞增；
當t＜1時，g（x）在(0，

1

1-t

)單調遞增，(

1

1-t

，+∞)單調遞減．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．