Question

10．如圖：在△ABC中，D為AB邊上一點，DA=DC，已知∠B=$\frac{π}{4}$，BC=3
（1）若△BCD為銳角三角形，DC=$\sqrt{6}$，求角A的大��；
（2）若△BCD的面積為$\frac{3}{2}$，求邊AB的長．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求$sin∠CDB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，結(jié)合△BCD為銳角三角形，可求∠CDB，進而可求∠ADC的值，又DA=DC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得解∠A的值．
（2）利用三角形面積公式可求BD的值，利用余弦定理可求得CD的值，進而可求AB=CD+BD的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因為：在△BCD中，由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠CDB}=\frac{CD}{{sin{{45}^0}}}$，
所以：$sin∠CDB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又因為：△BCD為銳角三角形，
所以：∠CDB=60°，
所以：∠ADC=120°，DA=DC，
所以：∠A=∠ACD=30°，∠A=30°．…（5分）
（2）因為：${S_{△BCD}}=\frac{3}{2}$，
所以：$\frac{1}{2}×BD×BCsin{45^0}=\frac{3}{2}$，
所以：$BD=\sqrt{2}$，
在△BCD中由余弦定理得：CD²=BD²+BC²-2BD×BCcos∠B=2+9-6=5，
所以：$CD=\sqrt{5}$，
所以：$AB=AD+BD=CD+BD=\sqrt{5}+\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．