已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值.

解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意

∴b=1.∴所求橢圓方程為+y2=1.

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

①當(dāng)AB⊥x軸時,|AB|=.

②當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,

由已知=,得m2=(k2+1).

把y=kx+m代入橢圓方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,

∴x1+x2=,x1x2=.

∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2

=(1+k2)［］

=

=3+=3+(k≠0)≤3+=4.

當(dāng)且僅當(dāng)9k2=,即k=±時等號成立.

當(dāng)k不存在時,|AB|=,綜上所述,|AB|max=2,

∴當(dāng)|AB|最大時,△AOB面積取最大值,S=×|AB|max×=.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:=1(a＞b＞0),直線l1:=1被橢圓C截得的弦長為2，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為3的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的，求橢圓C的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練24練習(xí)卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn),以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為(　　)

(A) +=1 (B) +=1

(C) +=1 (D) +=1

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長為6.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;

(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是直線F1A上的一個動點(diǎn),求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)求·的取值范圍;

(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點(diǎn)P(,).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點(diǎn).過點(diǎn)Q作x軸的垂線,垂足為E.取點(diǎn)A(0,2),連接AE,過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D.點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)?并說明理由.

 

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