Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知$x_1^2-ln{x_1}-{y_1}=0$，x₂-y₂-2=0，則${（{x_1}-{x_2}）^2}+{（{y_1}-{y_2}）^2}$的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 化簡已知條件，得到兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用平行線之間的距離求解即可．

解答 解：實(shí)數(shù)x₁，y₁，x₂，y₂滿足$x_1^2-ln{x_1}-{y_1}=0$，x₂-y₂-2=0，
可得y₁=x₁²-lnx₁，并且x₂-y₂-2=0，
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值轉(zhuǎn)化為：
函數(shù)y=x²-lnx圖象上的點(diǎn)與x-y-2=0圖象上的點(diǎn)的距離的最小值的平方，
由y=x²-lnx可得y′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
與直線x-y-2=0平行的直線的斜率為1，
所以2x-$\frac{1}{x}$=1，解得x=1，
切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），與x-y-2=0平行的直線為：y-1=x-1，即x-y=0，
而x-y=0和x-y-2=0的距離是$\sqrt{2}$，
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為：2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．