Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，最小值及最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）并用“五點(diǎn)法”畫(huà)出它一個(gè)周期的圖象．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
（1）利用正弦函數(shù)的值域可得函數(shù)的最大值為2，最小值-2，；利用周期公式T=

2π

ω

可求周期
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，2kπ-

1

2

π≤2x+

π

6

≤2kπ+ 

1

2

π，求解即可
（3）略

解答：解：（1）f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)（3分）
∴周期T=

2π

2

=π∴當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1時(shí)，f（x）取得最大值2，
當(dāng)sin(2x+

π

6

)=-1時(shí)f（x）取得最小值-2（6分）
（2）當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

k∈Z即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

k∈Z函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）（9分）
（3）列表：

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用二倍角的正弦余弦公式對(duì)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，輔助角公式ainx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)的運(yùn)用，正弦函數(shù)的最值及單調(diào)性的求解，五點(diǎn)法作三角函數(shù)的圖象，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．