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14.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,右頂點(diǎn)為E,過F1于x軸垂直的直線與橢圓C相交,其中一個(gè)交點(diǎn)為M(-3,12).
(I)求橢圓C的方程;
(II)設(shè)直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(i)若直線l過定點(diǎn)(1,0),直線AE,BE的斜率為k1,k2(k1≠0,k2≠0),證明:k1•k2為定值;
(ii)若直線l的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)P,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍.

分析 (I)由已知中橢圓通徑的端點(diǎn)坐標(biāo),構(gòu)造方程組,可得a,b的值,進(jìn)而可得橢圓C的方程;
(II)經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)的直線l可設(shè)為x=my+1,
(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可得y1+y2=2mm2+4,y1y2=3m2+4,由橢圓的右頂點(diǎn)為E(2,0),可得:k1•k2=y1x12y2x22=y1y2my11my21=y1y2m2y1y2my1+y2+1,進(jìn)而得到答案;
(ii)利用點(diǎn)差法,可得kAB=-14x0y0,故直線l的垂直平分線方程為:y-y0=y04x0(x-x0),令y=0,得P點(diǎn)橫坐標(biāo),結(jié)合由H(x0,y0)在橢圓內(nèi)部,可得答案.

解答 解:(I)由已知中過F1于x軸垂直的直線與橢圓C相交,其中一個(gè)交點(diǎn)為M(-3,12).
可得:c=3,2a=12,a2-b2=c2,
解得:a=2,b=1,
∴橢圓C的方程為:x24+y2=1;…3分
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
證明:(i)∵直線l過定點(diǎn)(1,0),設(shè)x=my+1,
{x24+y2=1x=my+1得:(m2+4)y2+2my-3=0,…5分
∴y1+y2=2mm2+4,y1y2=3m2+4
∵右頂點(diǎn)為E(2,0),
∴k1•k2=y1x12y2x22=y1y2my11my21=y1y2m2y1y2my1+y2+1=3m2+4m23m2+41m2mm2+4+1=-34,
∴k1•k2為定值;…8分
(ii)將A(x1,y1),B(x2,y2)代入橢圓方程得:{x124+y12=1x224+y22=1,
兩式相減得:14(x1-x2)(x1+x2)=-(y1-y2)(y1+y2
∵直線l的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)P,
∴y1+y2≠0,x1-x2≠0,
∴-14x1+x2y1+y2=y1y2x1x2=kAB
設(shè)AB的中點(diǎn)H(x0,y0),則kAB=-14x0y0,
故直線l的垂直平分線方程為:y-y0=y04x0(x-x0),
令y=0,得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為:34x0…10分,
由H(x0,y0)在橢圓內(nèi)部,可得:x0∈(-2,2),
34x0∈(-3232)…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的方程,橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,難度中檔.

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