長方體ABCD-A1B1C1D1的各個頂點都在表面積為16π的球O的球面上，其中AB：AD：AA1=2：1：
3
，則四棱錐O-ABCD的體積為（　�。�
分析：因為AB：AD：AA1=2：1：
3
，故可設AB、AD、AA1分別為2x，x，
3
x，（x＞0），長方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線等于其外接球O的直徑，可解得三棱長，故可得到四棱錐O-ABCD的底面積和高，可求體積．
解答：解：因為AB：AD：AA1=2：1：
3
，故可設AB、AD、AA1分別為2x，x，
3
x，（x＞0）
由題意可知，長方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線等于其外接球O的直徑，而由S=4πR2=16π，得
R=2，即2R=4，故4=
(2x)2+x2+(
3
x)2
，解得，x=
2
，故三邊長分別為2
2
，
2
，
6

即四棱錐O-ABCD的底面為邊長為2
2
，
2
的矩形，高為
6
2

∴四棱錐O-ABCD的體積V=
1
3
×2
2
×
2
×
6
2
=
2
6
3
，
故選B
點評：本題為長方體與外接球的問題，長方體的體對角線等于其外接球O的直徑是解決問題的關鍵，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1D1，且這個幾何體的體積為10．
（1）求棱A1A的長；
（2）求點D到平面A1BC1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=A1A=a，BC=
2
a，M是AD中點，N是B1C1中點．
（1）求證：A1、M、C、N四點共面；
（2）求證：BD1⊥MCNA1；
（3）求證：平面A1MNC⊥平面A1BD1；
（4）求A1B與平面A1MCN所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5 則三棱錐A1-ABC的體積為（　�。�
A、10B、20C、30D、35

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知多面體ABCD-A1B1C1D1，它是由一個長方體ABCD-A'B'C'D'切割而成，這個長方體的高為b，底面是邊長為a的正方形，其中頂點A1，B1，C1，D1均為原長方體上底面A'B'C'D'各邊的中點．
（1）若多面體面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA1的中點，求證：OE∥平面A1C1C；
（2）若a=4，b=2，求該多面體的體積；
（3）當a，b滿足什么條件時AD1⊥DB1，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側棱BB1的中點．
（1）求證：A1E⊥平面ADE；
（2）求三棱錐A1-ADE的體積．

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