Question

14．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差數(shù)列．可得2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，再利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得：b_n=（2n-1）（2n+1），$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差數(shù)列．∴2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+$\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+$\frac{1}{2}$，∴2a_n-2a_n-1=a_n，化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
（2）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=（2n-1）（2n+1），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．