Question

已知

a

，

b

，

c

，滿足|

a

|=1，|

b

|=

2

，

a

，

b

夾角為

π

4

，（

c

-

b

）•（

c

-

a

）=0，則|

c

|的最大值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角,向量的模

專題：平面向量及應用

分析：建坐標系系，可得

b

=（1，1），

a

=（1，0），設

c

=（x，y），由垂直關系可得（x-1）²+（y-

1

2

）²=

1

4

，三角換元可得x=1+

1

2

cosθ，y=

1

2

+

1

2

sinθ，由三角函數(shù)的知識可得|

c

|=

x2+y2

的最大值，也可用法二幾何意義來求．

解答： 解：由題意建立如圖所示的坐標系，
可得

b

=（1，1），

a

=（1，0），設

c

=（x，y），
∴

c

-

b

=（x-1，y-1），

c

-

a

=（x-1，y），
∵（

c

-

b

）•（

c

-

a

）=0，∴（x-1）²+y（y-1）=0，
配方變形可得（x-1）²+（y-

1

2

）²=

1

4

，
法一：設x-1=

1

2

cosθ，y-

1

2

=

1

2

sinθ，
∴x=1+

1

2

cosθ，y=

1

2

+

1

2

sinθ，
∴x²+y²=（1+

1

2

cosθ）²+（

1

2

+

1

2

sinθ）²=

3

2

+cosθ+

1

2

sinθ，
由三角函數(shù)的知識可知cosθ+

1

2

sinθ的最大值為

5

2

，
∴x²+y²=

3

2

+cosθ+

1

2

sinθ的最大值為

3+ 5

2

，
∴|

c

|=

x2+y2

最大值為

5 +1

2

法二：由（x-1）²+（y-

1

2

）²=

1

4

可知點（x，y）
為（1，

1

2

）為圓心

1

2

為半徑的圓上的點，
|

c

|=

x2+y2

表示圓上的點到原點的距離，
∴所求最大值為原點到（1，

1

2

）的距離加上圓的半徑，
∴所求的最大為

1

2

+

12+( 1 2 )2

=

5 +1

2

故答案為：

5 +1

2

點評：本題考查平面向量的夾角，涉及向量的模長公式以及三角換元的應用，建系是解決問題的關鍵，屬中檔題．