【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQ=λBB1（λ≠0）．
（1）若 ，求AP與AQ所成角的余弦值；
（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實(shí)數(shù)λ的值．

【答案】
（1）解：以 為正交基底，建立如圖所示空

間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．

因?yàn)? ， ，

所以 = ．

所以AP與AQ所成角的余弦值為


（2）解：由題意可知， ， ．

設(shè)平面APQ的法向量為 =（x，y，z），

則 即

令z=﹣2，則x=2λ，y=2﹣λ．

所以 =（2λ，2﹣λ，﹣2）．

又因?yàn)橹本�AA1與平面APQ所成角為45°，

所以|cos＜ ， ＞|= = ，

可得5λ2﹣4λ=0，又因?yàn)棣恕?，所以 ．


【解析】（1）以 為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．求出 ， ，利用數(shù)量積求解AP與AQ所成角的余弦值．（2） ， ．求出平面APQ的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則)．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某屆奧運(yùn)會上，中國隊(duì)以26金18銀26銅的成績稱金牌榜第三、獎牌榜第二，某校體育愛好者在高三 年級一班至六班進(jìn)行了“本屆奧運(yùn)會中國隊(duì)表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查（結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種），從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了50人，具體的調(diào)查結(jié)果如表：

班號

一班

二班

三班

四班

五班

六班

頻數(shù)

5

9

11

9

7

9

滿意人數(shù)

4

7

8

5

6

6


（1）在高三年級全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該生持滿意態(tài)度的概率；
（2）若從一班至二班的調(diào)查對象中隨機(jī)選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中對“本屆奧運(yùn)會中國隊(duì)表現(xiàn)”不滿意的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=|4x﹣a|+|4x+3|，g（x）=|x﹣1|﹣|2x|．
（1）解不等式g（x）＞﹣3；
（2）若存在x1∈R，也存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 （a＞b＞0）的離心率為 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P為橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OP的垂線交直線 于點(diǎn)Q，求 的值．

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【題目】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，已知第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為（ ）

A. 2060B. 2038C. 4084D. 4108

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【題目】甲、乙兩個同學(xué)分別拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.

（1）求他們拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率；

（2）求甲拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)不大于乙拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)的概率.

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【題目】海南沿海某次超強(qiáng)臺風(fēng)過后，當(dāng)?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn)，焊接工王師傅每天都很忙碌．一天他遇到了一個難題：如圖所示，有一塊扇形鋼板，半徑為米，圓心角，施工要求按圖中所畫的那樣，在鋼板上裁下一塊平行四邊形鋼板，要求使裁下的鋼板面積最大．請你幫助王師傅解決此問題．連接，設(shè)，過作，垂足為.

（1）求線段的長度（用來表示）；

（2）求平行四邊形面積的表達(dá)式（用來表示）；

（3）為使平行四邊形面積最大，等于何值？最大面積是多少？

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【題目】如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，，，，.

（1）證明：平面；

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【題目】秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個實(shí)例，若輸入x的值為2，則輸出v的值為（ ）
A.210﹣1
B.210
C.310﹣1
D.310

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