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7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,側面PBC是直角三角形,∠PCB=90°,點E是PC的中點,且平面PBC⊥平面ABCD.
(Ⅰ)證明:AP∥平面BED;
(Ⅱ)證明:平面APC⊥平面BED;
(Ⅲ)若BC=PC=2,∠ABC=60°,求異面直線AP與BC所成角的余弦值.

分析 (Ⅰ)設AC∩BD=O,ABCD是平行四邊形,故O為BD的中點,連結OE,則AP∥OE,由此能證明AP∥平面BED,
(Ⅱ)由已知推導出PC⊥BD,AC⊥BD,從而BD⊥平面APC,由此能證明平面APC⊥平面BED.
(Ⅲ)由BC∥AD,知∠PAD為異面直線AP與BC所成的角,由此能求出異面直線AP與BC所成角的余弦值.

解答 (本小題滿分13分)
證明:(Ⅰ)設AC∩BD=O,ABCD是平行四邊形,故O為BD的中點,連結OE,
∵點E是PC的中點,∴AP∥OE,
OE?平面BED,AP?平面BED,
∴AP∥平面BED
(Ⅱ)∵平面PBC⊥平面ABCD,∠PCB=90°,
故PC⊥平面ABCD,又BD?平面ABCD,∴PC⊥BD,
而底面ABCD是菱形,故AC⊥BD,
又AC∩PC=C,∴BD⊥平面APC,
∵BD?平面BED,
∴平面APC⊥平面BED.
解:(Ⅲ)由(Ⅰ)知BC∥AD,
故∠PAD為異面直線AP與BC所成的角,
由已知BC=PC=2,∠ABC=60°,底面ABCD是菱形
故AB=BC=AC=PC=2,
∴在Rt△DPC中,PC=DC=2,故DP=22,
取BC中點H,則AH⊥BC,AH⊥平面PBC,
在Rt△AHP中,PH=5,AH=3,故AP=22
∴AP=22,在△APD中,cosPAD=12ADAP=24
∴異面直線AP與BC所成角的余弦值為24

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明,考查異面直線所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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