Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，側面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，點E是PC的中點，且平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：AP∥平面BED；
（Ⅱ）證明：平面APC⊥平面BED；
（Ⅲ）若BC=PC=2，∠ABC=60°，求異面直線AP與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設AC∩BD=O，ABCD是平行四邊形，故O為BD的中點，連結OE，則AP∥OE，由此能證明AP∥平面BED，
（Ⅱ）由已知推導出PC⊥BD，AC⊥BD，從而BD⊥平面APC，由此能證明平面APC⊥平面BED．
（Ⅲ）由BC∥AD，知∠PAD為異面直線AP與BC所成的角，由此能求出異面直線AP與BC所成角的余弦值．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）設AC∩BD=O，ABCD是平行四邊形，故O為BD的中點，連結OE，
∵點E是PC的中點，∴AP∥OE，
OE?平面BED，AP?平面BED，
∴AP∥平面BED
（Ⅱ）∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PCB=90°，
故PC⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴PC⊥BD，
而底面ABCD是菱形，故AC⊥BD，
又AC∩PC=C，∴BD⊥平面APC，
∵BD?平面BED，
∴平面APC⊥平面BED．
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）知BC∥AD，
故∠PAD為異面直線AP與BC所成的角，
由已知BC=PC=2，∠ABC=60°，底面ABCD是菱形
故AB=BC=AC=PC=2，
∴在Rt△DPC中，PC=DC=2，故DP=2$\sqrt{2}$，
取BC中點H，則AH⊥BC，AH⊥平面PBC，
在Rt△AHP中，PH=$\sqrt{5}$，AH=$\sqrt{3}$，故AP=2$\sqrt{2}$，
∴AP=2$\sqrt{2}$，在△APD中，cos$∠PAD=\frac{\frac{1}{2}AD}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴異面直線AP與BC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．