Question

設(shè)F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，A、B為該拋物線上兩點(diǎn)，若

FA

+2

FB

=

0

，則|

FA

|+2|

FB

|等于

 

．

Answer 1

分析：先過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，再過(guò)B作AC的垂線，垂足為E，如圖，在直角三角形ABE中，求得cos∠BAE=

AE

AB

=

1

3

得出直線AB的斜率，進(jìn)而得到直線AB的方程為：y=2

2

（x-1），將其代入拋物線的方程求得A，B的坐標(biāo)，最后利用距離公式求得結(jié)果即可．

解答：解：過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，再過(guò)B作AC的垂線，垂足為E，
設(shè)BF=m，則BD=m，
∵

FA

+2

FB

=

0

，
∴AC=AF=2m，
如圖，在直角三角形ABE中，
AE=AC-BD=2m-m=m，
AB=3m，∴cos∠BAE=

AE

AB

=

1

3

∴直線AB的斜率為：k=tan∠BAE=2

2

∴直線AB的方程為：y=2

2

（x-1）
將其代入拋物線的方程化簡(jiǎn)得：2x²-5x+2=0
∴x₁=2，x₂=

1

2

∴A（2，2

2

）．B（

1

2

，

2

），又F（1，0）
則|

FA

|+2|

FB

|=2

1+8

=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、共線向量及解三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義作出直角三角形ABE，從而求得直線的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合起來(lái)的思想．