Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-2ax+b|．x∈R，給出四個(gè)命題：
①f（x）必是偶函數(shù)；
②若f（0）=f（2），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③若a²-b≤0，則f（x）在[a，+∞）上是增函數(shù)；
④f（x）有最小值|a²-b|；⑤對(duì)任意x都有f（a-x）=f（a+x）；
其中正確命題的序號(hào)是

③⑤

．

Answer 1

分析：通過(guò)舉出反例加以說(shuō)明，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得①②不正確；若a²-b≤0，由根的判別式小于0得到   f（x）=x²-2ax+b，即得f（x）在[a，+∞）上是增函數(shù)，得③正確；根據(jù)根的判別式不一定小于0，得可能f（x）的最小值為0而不是|a²-b|，得④不正確；根據(jù)代入函數(shù)解析式加以驗(yàn)證，可得⑤正確．

解答：解：對(duì)于①，當(dāng)a=1、b=0時(shí)，f（x）=|x²-2x|為非奇非偶函數(shù)
故f（x）不一定是偶函數(shù)，得①不正確；
對(duì)于②，當(dāng)a=0、b=-2時(shí)，f（x）=|x²-2|圖象不關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
但是滿足f（0）=f（2）=2，得②不正確；
對(duì)于③，若a²-b≤0，函數(shù)t=x²-2ax+b根的判別式△=4a²-4b＜0
因此t＞0恒成立，得f（x）=x²-2ax+b，
圖象開(kāi)口向上，且關(guān)于直線x=a對(duì)稱，因此f（x）在[a，+∞）上是增函數(shù)，得③正確；
對(duì)于④，當(dāng)4a²-4b≥0時(shí)，f（x）=|x²-2ax+b|的最小值為0
所以f（x）的最小值不一定是|a²-b|，得④不正確；
對(duì)于⑤，因?yàn)閒（a-x）=|x²-a²+b|=f（a+x），所以⑤正確；
故答案為：③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的二次函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和圖象的對(duì)稱性．著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)與值域的求法，考查了命題真假的判斷等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．