Question

2．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₂的直線與雙曲線C的右支相交于P、Q兩點，且點P的橫坐標(biāo)為2，則△PF₁Q的周長為$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出|PF₂|的長度，利用雙曲線定義求出|PF₁|的長度，則△PF₁Q的周長可求．

解答 解：由雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，得$a=\sqrt{3}，b=1$
∴$c=\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=2$，則F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
由于點P的橫坐標(biāo)為2，則PQ⊥x軸，
令x=2，有${y}^{2}=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$，
即y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，則|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
|PF₁|=2a+|PF₂|=$2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
則△PF₁Q的周長為|PF₁|+|QF₁|+|PQ|=$\frac{7\sqrt{3}}{3}+\frac{7\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了雙曲線定義的應(yīng)用，是中檔題．