Question

如圖，一個鋁合金窗分為上、下兩欄，四周框架和中間隔欄的材料為鋁合金，寬均為6cm，上欄和下欄的框內高度（不含鋁合金部分）的比為1：2，此鋁合金窗占用的墻面面積為28800cm²，設該鋁合金窗的寬和高分別為a（cm），b（cm），鋁合金的透光部分的面積為S（cm²）．
（1）試用a，b表示S；
（2）若要使S最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意分別求出上、下兩欄的高和寬，然后利用矩形的面積公式將三個透光部分的面積求出相加即可得到所求；
（2）抓住ab=28800進行化簡變形，然后利用基本不等式進行求解，注意等號成立的條件，最后求出取等號時a與b的值即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知上欄的高為

b-18

3

cm，長為（a-12）cm．
下欄的高為

2(b-18)

3

cm，寬為

a-18

2

cm．
∴鋁合金的透光部分的面積為S=

b-18

3

（a-12）+

2(b-18)

3

×

a-18

2

×2=（b-18）（a-16）
（2）∵ab=28800
∴S=（b-18）（a-16）=29088-2（9a+8b）≤29088-4

72ab

=29088-1440×4=23328
當且僅當9a=8b時，而ab=28800
解得a=160，b=180時不等式取等號
∴若要使S最大，則鋁合金窗的寬和高分別為160cm，180cm．

點評：本題考查將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力，同時考查利用基本不等式求函數(shù)的最值注意滿足的條件：一正、二定、三相等，屬于中檔題．