Question

【題目】如圖1，四面體ABCD及其三視圖（如圖2所示），過棱AB的中點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H．

（1）證明：四邊形EFGH是矩形；
（2）求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由三視圖可知，四面體ABCD的底面BDC是以∠BDC為直角的等腰直角三角形，

且側(cè)棱AD⊥底面BDC．

如圖，

∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD平面ABD，

∴AD∥EF．

∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD平面ADC，

∴AD∥GH．

由平行公理可得EF∥GH．

∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC平面BDC，

∴BC∥FG．

∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC平面ABC，

∴BC∥EH．

由平行公理可得FG∥EH．

∴四邊形EFGH為平行四邊形．

又AD⊥平面BDC，BC平面BDC，

∴AD⊥BC，則EF⊥EH．

∴四邊形EFGH是矩形；

（2）解：

解法一：取AD的中點M，連結(jié)，顯然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中點N，連結(jié)MN，則MN⊥EH，

∴MN⊥平面EFGH，則∠MFN就是MF（即AB）與平面EFGH所成的角θ，

∵△MEH是等腰直角三角形，

∴MN= ，又MF= AB= ，

∴sin∠AFN= = ，即直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值是 ．

解法二：分別以DB，DC，DA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由三視圖可知DB=DC=2，DA=1．

又E為AB中點，

∴F，G分別為DB，DC中點．

∴A（0，0，1），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，0），E（1，0， ），G（0，1，0）．

則 ．

設(shè)平面EFGH的一個法向量為 ．

由 ，得 ，取y=1，得x=1．

∴ ．

則sinθ=|cos＜ ＞|= = = ．

【解析】（1）由三視圖得到四面體ABCD的具體形狀，然后利用線面平行的性質(zhì)得到四邊形EFGH的兩組對邊平行，即可得四邊形為平行四邊形，再由線面垂直的判斷和性質(zhì)得到AD⊥BC，結(jié)合異面直線所成角的概念得到EF⊥EH，從而證得結(jié)論；（2）分別以DB，DC，DA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，求出 及平面EFGH的一個法向量 ，用 與 所成角的余弦值的絕對值得直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．